Question

2009年高考文科数学天津卷第10题怎么做？不用特殊值法

10. 设函数f(x)在R上的导函数为f '(x),且2f(x)+xf '(x)>x²下面的不等式在R内恒成立的是
A f(x)>0 B f(x)<0 C f(x)>x D f(x)<x

Answer 1

由已知条件构造辅助函数
设F(x)=x^2f(x),
所以，F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]
因为2f(x)+xf'(x)>0
所以，当x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>x×x^2
即F'(x)>x^3>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数
当x<0，即-x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]=-(-x)[2f(x)+xf'(x)]
因为(-x)[2f(x)+xf'(x)]>(-x)×x^2
所以，-(-x)[2f(x)+xf'(x)]<x^3
即F'(x)<x^3<0,F(x)在(-∞,0)上是减函数
所以，当x=0时，F(x)最小
所以，F(x)=x^2f(x)≥F(0)=0(当且仅当x=0取等号）
所以，f(x)≥0，只有x=0时才可能取等号，
但2f(0)+0f'(0)>0^2,
即f(0)>0
所以，f(x)>0

Answer 2

题目呢

Answer 3

题目呢？