Question

已知抛物线y=ax²+bx+3与X轴交于A,B。过点A做直线C与抛物线交于C点，其中A（1,0），

C（4,3）
第一小题：求抛物线解析式
第二小题：第一小题中抛物线对称轴上是否有点D使三角形ABD周长最小，求D坐标
第三小题：点E是第一小题中的抛物线上的动点，且位于直线AC下方，求三角形ACE的最大面积及E点坐标
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Answer 1

⑴Y=aX²+bX+3过A、C，得方程组：
0=a+b+3
3=16a+4b+3
解得：a=1，b=-4，
∴Y=X²-4X+3，
⑵Y=X²-4X+3=(X-2)²-1，
对称轴X=2，D在X=2上，不存在ΔABD的周长最小。
⑶直线 AC解析式：Y=X-1，
设E(m，m²-4m+3)，
过E作ED⊥X轴于D，交AC于F，则F(m，m-1)，
过C作CG⊥X轴于G，则AG=4-1=3，
EF=(m-1)-(m²-4m+3)=-m²+5m-4=-(m-5/2)²+9/4，
∴SΔACE=SΔAEF+SΔCEF
=1/2EF*AD+1/2EF*GD
=1/2EF*AG
=3/2EF
=-3/2(m-5/2)²+27/8，
∴当m=5/2，即E(5/2，-3/4)时，
SΔACE最大=27/8。