Question

初三数学 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C

初三数学 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
图中第三问的解法，做平行线的思路是怎么来的？为什么当△=0时面积最大？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，解得。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3。
（2）存在。
∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小。
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2。
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得：。
∴直线AC的解析式为y=x﹣1。
当x=2时，y=2﹣1=1。
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小。
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，

联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0。
由△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0得m=。
∴m=时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大。
此时x=，y=。
∴点E的坐标为（，）。
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0）。
∴AF=。
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°。
∴点F到AC的距离为。
又∵。
∴△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）。

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