如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,
抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交与A,B两点,过点A的直线l与抛物线交与C,A(1,0)C(4,3),若点E抛物线上一动点,且位与直线AC的下方,求三角形ACE的最大...
抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交与A,B两点,过点A的直线l与抛物线交与C,A(1,0)C(4,3),若点E抛物线上一动点,且位与直线AC的下方,求三角形ACE的最大面积及E点坐标.
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抛物线y=ax²+bx+3 过A(1,0)C(4,3)两点
则 a+b+3=0 (1)
16a+4b+3=3 (2)
(2)-(1)*4
12a=12 a=1 代入(1)
b=-4
抛物线为y=x²-4x+3
所以它开口向上
因为直线AC过A(1,0)C(4,3)两点
设直线AC的解析式为y=kx+c
则 0=k+c (3)
3=4k+c (4)
(4)-(3)得 3k=3 k=1 代入(3)得
c=-1
直线AC的解析式为y=x-1
设E点的坐标为(m,n)
则 n=m²-4m+3
因为E点在直线AC的下方,且在抛物线上,所以 1≤m≤4
过E作EF∥Y轴交直线AC于F 交X轴于G
把x=m代入直线AC的解析式为y=x-1
得y=m-1
则F点的坐标为(m, m-1)
过C作CH⊥X轴交于H
则AH=3
EF=m-1-(m²-4m+3)=-m²+5m-4
三角形AEC的面积=三角形AEF的面积+三角形CEF的面积
=1/2*EF*AG+1/2*EF*GH
=1/2*EF(AG+GH)
=1/2*EF*AH
=1/2*(-m²+5m-4)*3
=-3/2(m²-5m+25/4-25/4+4)
=-3/2(m-5/2)²+27/8
当m=5/2时 三角形AEC的面积的最大值为 27/8
则 a+b+3=0 (1)
16a+4b+3=3 (2)
(2)-(1)*4
12a=12 a=1 代入(1)
b=-4
抛物线为y=x²-4x+3
所以它开口向上
因为直线AC过A(1,0)C(4,3)两点
设直线AC的解析式为y=kx+c
则 0=k+c (3)
3=4k+c (4)
(4)-(3)得 3k=3 k=1 代入(3)得
c=-1
直线AC的解析式为y=x-1
设E点的坐标为(m,n)
则 n=m²-4m+3
因为E点在直线AC的下方,且在抛物线上,所以 1≤m≤4
过E作EF∥Y轴交直线AC于F 交X轴于G
把x=m代入直线AC的解析式为y=x-1
得y=m-1
则F点的坐标为(m, m-1)
过C作CH⊥X轴交于H
则AH=3
EF=m-1-(m²-4m+3)=-m²+5m-4
三角形AEC的面积=三角形AEF的面积+三角形CEF的面积
=1/2*EF*AG+1/2*EF*GH
=1/2*EF(AG+GH)
=1/2*EF*AH
=1/2*(-m²+5m-4)*3
=-3/2(m²-5m+25/4-25/4+4)
=-3/2(m-5/2)²+27/8
当m=5/2时 三角形AEC的面积的最大值为 27/8
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