Question

已知不等式x²-2ax+2<0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围

已知不等式x²-2ax+2<0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

(x-a)2-a2+2<0 x∈[-1,2]
(x-a)2-a2+2<0 因为(x-a)2>=0
所以-a2+2<0 => a2>2
=>a>根号2或a<-根号2
=>(-无穷,-根号2)合并(根号2,+无穷);

追问

当x=0时,2<0不成立

追答

说的也是,我真的没考虑这个.

Answer 2

不等式x²-2ax+2<0在x∈[-1,2]上恒成立

设f(x)=x²-2ax+2，
图像为开口朝上的抛物线，
若在[-1,2]上，f(x)<0恒成立，
只需在两个端点处函数值为负值即可，
即{f(-1)=2a+3<0
{f(2)=-4a+6<0
==>
{a<-3/2
{a>3/2
==>
a∈Φ
符合条件的a值不存在。

你是不是抄错题了。

追问

好像老师出错题了,改成已知不等式x²-2ax+2>0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围 (用4种方法解题)

追答

方法1：
设f(x)=x²-2ax+2=（x-a)²+2-a²
那么[-1,2]上，f(x)>0恒成立，

即需f(x)min>0
当a0
==> a>-3/2
此时-3/20 ==> -√22时，f(x)min=f(2)=-4a+6>0
==>a2

综上，a的取值范围是(-3/2,√2)

方法2：
x²-2ax+2>0
即2ax0,g(x)递增
∴g(x)min=g(√2)=2√2
∴2ax+2/x
g(x)=x+2/x ,(-1≤xg(x)max
g'(x)=(x²-2)/x²-3 ==>a>-3/2

将上面各部分x值对应的a值范围取交集
得-3/2<a<√2
还有一种方法，字数超了

追问

还有一种方法是什么?谢谢

追答

这种人，嗨

追问

对不起,本来是选你答案的,你的答案既好又详细,结果点错了,万分抱歉

Answer 3

f(x)=x²-2ax+2<0在x∈[-1,2]上恒成立

对称轴是x=a
当a<-1时
f(x)最小值=f(-1)=1+2a+2<0
2a<-3
a<-3/2
∴a<-3/2
当-1≤a≤2时
f(x)最小值=f(a)=a²-2a²+2=2-a²<0
a<-√2或a>√2
∴√2<a≤2
当a>2时
f(x)最小值=f(2)=4-4a+2<0
4a>6
a>3/2
∴a>2
综上取并集
∴a<-3/2或a>√2
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Answer 4

变量分离，很简单

追问

过程呢?我算了下a属于空集啊

追答

好吧，马上发图

追问

图呢