Question

高中数学数列，有难度

数列an满足a1=m，an大于1时，a(n+1)=an-1，an大于0且an小于等于1时，a(n+1)=1/(an)。求证，不存在大于等于2的有理数m，使an为周期数列

Answer 1

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Answer 2

假设存在m>=2使an为周期数列。
设m为整数，定存在一个n使得an=1，根据条件啊a(n+1),a(n+2).....都等于1，所以数列为m，m-1....,1,1.....显然不是周期数列
假设m不是整数，设m=l+k（l为m的整数部分，l为m的小数部分）顶存在一个数n使得an=k，根据条件的a（n+1）=1/k，a（n+2）=k，依次类推得出数列为m，m-1，m-2，...1/k，k，1/k，k....显然也不是周期数列
所以假设不存在
即不存在大于等于2的有理数m，使an为周期数列

Answer 3

反证法，求证，应该不难