Question

如图1,若三角形ABC和三角形ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点.若AC=2AD,（

1）当三角形ADE绕点A旋转到图2的位置时，连接EN，判断EN和BC的位置关系和数量关系。（2）当把三角形ADE绕点A旋转到图3的位置时，“CD=BE,三角形AMN是等边三角形”中的结论是否还成立？请说明理由。

Answer 1

∵△ADE是正三角形
∴AD=AE，∠DAE=60度
∵△ABC是正三角形
∴AC=AB，∠CAB=60度
∴△ADC与△AEB世全等三角形
∴∠ADC=∠AEB，DC=EB
∵M,N分别为EB，CD的中点
∴DN=1/2*DC=1/2*EB=EM
∵∠ADN=∠AEM，AD=AE
∴△ADN与△AEM世全等三角形
∴AN=AM，∠DAN=∠EAM
∵∠DAE=∠DAN+∠EAN=∠EAM+∠EAN=∠MAN=60度
∴△AMN是等边三角形当AB=2AD时，设AB=2a，AD=a。
△ABC的高是：√（2a*2a-a*a）=√3a
△ABC的面积是：2a*√3a/2 = √3a*a
同理，计算△ADE的高是：√3a/2
△ADE的面积是：a*√3a/2/2=√3a*a/4
△AEM是直角三角形，AE=AD=a，EM=△ABC高的一半 = √3a/2
AM=√（√3a/2*√3a/2+a*a）=√7a/2
计算△AMN的高是：√21a/4
△AMN的面积是：√7a/2*√21a/4/2=7√3a*a/16
∴S△ADE ：S△ABC ：S△AMN
= √3a*a/4 ：√3a*a ：7√3a*a/16
= 4 ：16 ：7