Question

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）CD=BE．理由如下：（1分） ∵△ABC和△ADE为等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC， ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC，（3分） ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴CD=BE．（4分） （2）△AMN是等边三角形．理由如下：（5分） ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD ∵M、N分别是BE、CD的中点， ∴BM= 1 2 BE= 1 2 CD=CN， ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM≌△ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分） ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形．（7分） 设AD=a，则AB=2a． ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE． ∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ECD=30°， ∴∠ADC=90°．（8分） ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°， ∴CD= 3 a． ∵N为DC中点， ∴DN= 3 2 a ， ∴AN= DN 2 + AD 2 = ( 3 2 a) 2 + a 2 = 7 2 a ．（9分） ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S △ADE ：S △ABC ：S △AMN =a 2 ：（2a） 2 ：（ 7 2 a ） 2 =1：4： 7 4 =4：16：7（10分） 解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：（5分） ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点， ∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC， ∴△ABM≌△ACN， ∴∠MAB=∠NAC， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形，（7分） 设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a， 易证BE⊥AC， ∴BE= AB 2 - AE 2 = (2a) 2 - a 2 = 3 a ， ∴EM= 3 2 a ， ∴AM= EM 2 + AE 2 = ( 3 2 a) 2 + a 2 = 7 2 a ， ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S △ADE ：S △ABC ：S △AMN =a 2 ：（2a） 2 ：（ 7 2 a ） 2 =1：4： 7 4 =4：16：7．（10分）