Question

如图1，若三角形abc和三角形ade为等边三角形，m，n分别为eb,cd的中点，易证cd＝be三角形amn是等边三角形。

当三角形ade绕点a旋转到图3的位置时，三角形amn是否是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab＝2ad,三角形ade与三角形amn的面积比。

Answer 1

解：（1）CD=BE．理由如下:　

∵△ABC和△ADE为等边三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM=

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形．

设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，

∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o．

∴冲液神在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=．

∵N为DC中点，

∴， ∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶埋败S△ABC∶ S△AMN

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是散亏BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易证BE⊥AC，∴BE=，

∴ ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

Answer 2

经国家和国家和国家和国际环境和国家规划