Question

如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别在BE,CD上，且BM:ME=CD:ND=k，探索△AMN的形状并说明

如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别在BE,CD上，且BM:ME=CD:ND=k，探索△AMN的形状并说明

Answer 1

证明：（1）
∵△ABC和△ADE均为等边三角形（已知）
∴AB=AC=BC,AD=AE, ∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=60°∠BAC=∠DAE=60°（等边三角形的三条边相等，内角都为60°）
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠CAE=∠CAD+∠DAE(图知)
∴∠BAD=∠CAE(等量代换)
∴△ABC≌△ADE（边角边定理）
∴BD=CE, ∠DBA=∠ECA (全等三角形的对应边对应角相等)
∵B、C、D在同一条直线上（已知）
∴BD=BC+CD(图知)
∴CE=AC+CD(等量代换)
(2)∵∠ABC=∠BCA =∠BAC=60°,∠DBA=∠ECA(已证)
又∵B、C、D在同一条直线上（已知）
∴∠DBA即∠ABC =60°，∠BCA+∠ECA+∠ECD=180°
∴∠ECA =60°(等量代换)
∴∠ECD =60°(等量代换)

或者：
解：
（答案是，等边三角形,主要考察的是三角形全等）
△ABC和△ADE为等边三角形
得：AB=AC，AE=AD，<BAC=<EAD=60
又得：<CAD=<BAE
所以，三角形ADC与三角形AEB
得，BE=CD,<ABM=<ACN
由已知，BM/ME=CN/ND
得：BM=CN，由上知，,<ABM=<ACN，AB=AC
得，三角形ABM与三角形ACN全等
所以，AM=AN，<BAM=CAN,知<BAC=60
得，<MAN=60
所以，三角形AMN是等边三角形

Answer 2

解：
（答案是，等边三角形,主要考察的是三角形全等）
△ABC和△ADE为等边三角形
得：AB=AC，AE=AD，<BAC=<EAD=60
又得：<CAD=<BAE
所以，三角形ADC与三角形AEB
得，BE=CD,<ABM=<ACN
由已知，BM/ME=CN/ND
得：BM=CN，由上知，,<ABM=<ACN，AB=AC
得，三角形ABM与三角形ACN全等
所以，AM=AN，<BAM=CAN,知<BAC=60
得，<MAN=60
所以，三角形AMN是等边三角形

Answer 3

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD，∴CD=BE，∠ABE=∠ACD，
∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM=12BE，CN=12CD，
∴BM=CN．又AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°，
∴△AMN是等边三角形．

（2）解：作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=23，
∴EF=3，
∵M是BE中点，作MH⊥AB于点H，
∴MH∥EF，MH=12EF=32，
取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=12AE，
∴∠MPH=30°，MP=3，
∴在Rt△MPH中，PH=32，
∴AH=AP+PH=152，
在Rt△AMH中，AM=AH2+MH2=57．