Question

已知数列【An】的前n项和为Sn，A1=-3分之2，满足Sn+Sn分之1+2=An（n大于等于2）

已知数列【An】的前n项和为Sn，A1=-3分之2，满足Sn+Sn分之1+2=An（n大于等于2）.计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn

Answer 1

你没看清题目，题目本来就规定了n≥2时有已知的那个等式，没说n=1的时候等式成立。

解：
n=1时，S1=a1=-2/3
n=2时，S2+ 1/S2 +2=a2=S2-a1=S2-(-2/3)=S2+ 2/3
1/S2= -4/3
S2=-3/4
n=3时，S3+1/S3+2=a3=S3-S2=S3-(-3/4)=S3+3/4
1/S3=-5/4
S3=-4/5
S1=-2/3=-(1+1)/(1+2) S2=-3/4=-(2+1)/(2+2) S3=-4/5=-(3+1)/(3+2)
猜想：
Sn=-(n+1)/(n+2)
证：
n=1时，S1=-2/3=-(1+1)/(1+2)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即Sk=-(k+1)/(k+2)，则当n=k+1时，
S(k+1)+1/S(k+1)+2=a(k+1)=S(k+1)-Sk=S(k+1)-[-(k+1)/(k+2)]=S(k+1)+(k+1)/(k+2)
1/S(k+1)=(k+1)/(k+2) -2=(k+1-2k-4)/(k+2)=(-k-3)/(k+2)=-[(k+1)+2]/[(k+1)+1]
S(k+1)=-[(k+1)+1]/[(k+1)+2]，表达式同样成立
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，表达式恒成立。
Sn=-(n+1)/(n+2)