Question

线性代数证明作业 限维的子空间

线性代数证明作业

先证明一个有限维的子空间W，向量空间V也是有限维。此外，再
证明当且仅当W=V, 时dim（W）＝ dim（V），
（举例来说，俺们课上老师说，R^3的三维子空间 必须是所有的R^3 )

求详细证明和解释。拜托了

Answer 1

当W=V时是废话。。。
当dim(W)=dim(V)时，取W中的一组基底B={v1,v2,...,vn}。显然B在V里面且B线性无关。若span(B)≠V，则V种存在不能写成vi的线性组合的v，则B∪{v}在V里线性无关，所以dim(V)>=|B∪{v}|=n+1>dim(W)，矛盾。所以span(B)=V。而span(B)=W，所以W=V。