Question

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立。f（1）=0 。

当f(x)+2小于LogaX,X属于（0，1|2）恒成立，求a的取值范围

Answer 1

法一:
f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x

设x＞0,y＞0,有x+y＞y,(x+2y+1)x＞0
即f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x＞0
则f(x)在(0,+∞)上递增

f(1+0)-f(0)=f(1)-f(0)=(1+1)·1
-f(0)=2
f(0)=-2

f(1/2+1/2)-f(1/2)=f(1)-f(1/2)=(1/2+2·1/2+1)/2
-f(1/2)=5/4
f(1/2)=-5/4

∵x∈(0,1/2)，函数单调递增
∴f(x)∈(-2,-5/4)
∴f(x)+2∈(0,3/4)

令g(x)=loga(x)
①当a＞1时
∵x∈(0,1/2)
∴g(x)＜0＜f(x)+2
∴不满足

②当0＜a＜1时
g(x)单调递减
∵在(0,1/2)上，f(x)单调递增，g(x)单调递减
∴只要保证f(1/2)+2≤g(1/2)就可以了
即3/4≤loga(1/2)
∴三次根号(1/16)≤a＜1

法二:
令y=1,
f(x+1)-f(1)=x(x+3),
f(x+1)=x(x+3),
f(x)=(x-1)(x+2)=x²+x-2
f(x)+2=x²+x＜loga(x)
看图像，当a＞1时显然不成立
当0＜a＜1时，x²+x单调递增，loga(x)单调递减，
只需loga(1/2)≥(1/2)²+1/2
解得 3次根号(1/16)≤a＜1