Question

已知函数f（x）对一切实数xy都有f（x-y）-f（y）=x（x+2y+1）

已知函数f（x）对一切实数xy都有f（x-y）-f（y）=x（x+2y+1）成立且f（1）=0令g（x）=f（x）+（2a-1）x+4（-1≤x≤3）求函数g（x）的最大值

Answer 1

解：令y=1，则f(x-1)-f(1)=x(x+3)
因为f(1)=0
所以：f(x-1)=x²+3x=[(x-1)+1]²+3[(x-1)+1]
所以：f(x)=(x+1)²+3(x+1)=x²+5x+4
则g(x)=x²+2(a+2)x+8
二次函数最值问题，拿对称轴和所给区间去比较，进行分类讨论。
开口向上的最大值，只会在区间端点处取得，所以要比较的是区间端点距对称轴的远近；
所以，以区间的中点为界进行讨论：
g(x)开口向上，对称轴为x=-a-2；
（1）-a-2≤1，即a≧-3时，3离对称轴最远；
所以：g(x)max=g(3)=6a+29；
（2）-a-2>1，即a<-3时，-1离对称轴最远；
所以：g(x)max=g(-1)=5-2a；
就这样就行了，或者写成分段函数也可。

汗。。。回头看看题目，确实如一楼所说，是有问题的。。。
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

令y=1，得 f(x-1)=x(x+3)，
因此，f(x)=f[(x+1)-1]=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4。 （*）

令x=0，得 f(-y)-f(y)=0，即 f(-y)=f(y)，
所以，函数为偶函数，这与（*）矛盾。

题目有问题啊。。。。。。。。。。。。。。。

Answer 3

∵f（x-y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（x-1）-f（1）=x（x+2+1）
∴f（x-1）＝x²＋3x
令t=x-1，则x=t+1
∴f（t）＝(t＋1)²＋3(t＋1)=t²＋5t＋4
∴f（x）＝x²＋5x＋4
∴g（x）=f（x）+（2a-1）x+4=x²＋5x＋4+（2a-1）x+4＝x²＋（2a＋4）x＋8
g（x）=(x＋a＋2)²＋8－(a+2)²
对称轴为x= -a-2
∴当-a-2≤1时，即a≥-3， 最大值g（x）= g（3）=3²＋（2a＋4）3＋8=6a+29
当-a-2＞1时，即a＜-3， 最大值g（x）=g（-1）=1-（2a＋4）＋8= -2a+5

Answer 4

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