Question

定义在R上的奇函数f（x）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+4），且x∈（0，2）时，f（x）＝3

定义在R上的奇函数f（x）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+4），且x∈（0，2）时，f（x）＝3^x/（9^x+1）
（1）求f（x）在〔－2，2〕上的解析式
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性
（3）当λ为何值时，关于x的方程f（x）＝λ在〔－2，2〕上有实数解
求解题过程

Answer 1

定义在R上的奇函数f（x）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+4），且x∈（0，2）时，f（x）＝3^x/（9^x+1）
（1）求f（x）在〔－2，2〕上的解析式
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性
（3）当λ为何值时，关于x的方程f（x）＝λ在〔－2，2〕上有实数解
求解题过程
(1)解析：∵f(x)是R上的奇函数，对任意x满足f（x）＝f（x+4）
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0，f(x)是以4为最小正周期有周期函数
∵当x∈(0,2)时，f(x)＝3^x/(9^x+1)
∴当x∈(-2,0)时，f(x)＝-3^(-x)/(9^(-x)+1)
∴f(x)在[-2，2]上的解析式为分段函数：
f(x)=0 （x=-2或0或2）
f(x)＝-3^(-x)/(9^(-x)+1) （-2<x<0）
f(x)＝3^x/(9^x+1) (0<x<2)
(2)解析：∵当x∈(0,2)时，f(x)＝3^x/(9^x+1)
∴f’(x)＝3^x*ln3(1-9^x)/(9^x+1)^2<0
∴当x∈(0,2)时，f(x)单调减；
(3)解析：∵关于x的方程f（x）＝λ在〔－2，2〕上有实数解
∵当x∈(0,2)时，f(x)单调减
∴当x∈(-2,0)时，f(x)单调减
f(0)＝3^(0)/(9^(0)+1)=1/2
f(2)＝3^(2)/(9^(2)+1)=9/82
要方程f（x）＝λ在〔－2，2〕上有实数解
只要-1/2<λ<-9/82或λ=0或9/82<λ<1/2

Answer 2

已知函数fx=2sin 2x-2√3cos 2x+1,若条件P:π/4<x<=π/2是条件q:m-2<f(x)<m+2的充分条件，求实数m的取值范围。