Question

函数f(x)=根号下x平方-2x+2+根号下x平方－4x+8的最小值

Answer 1

f(x)=√[(x-1)²+1]+√[(x-2)²+4]
可看成x轴上的点P(x, 0)到点A(1, 1), B(2, 2)的距离之和PA+PB
作A关于x轴的对称点A'(1, -1), 则PA+PB=PA'+PB
由两点间线段最短的原理，PA'+PB>=A'B , 当P点为A'B与x轴的交点时取等号。
而A'B=√[(1-2)²+(-1-2)²]=√10
因此f(x)的最小值为√10

Answer 2

f(x)=√(x�0�5+2x+2)+√(x�0�5-4x+8)=√[(x+1)�0�5+1]+√[(x-2)�0�5+4]。
分析一，√[(x+1)�0�5+1]取最小值是1时，√[(x-2)�0�5+4]=√13；√[(x+1)�0�5+1]+√[(x-2)�0�5+4]=1+√13。
分析二，√[(x-2)�0�5+4]的最小值是2时，√[(x+1)�0�5+1]=√2；√[(x+1)�0�5+1]+√[(x-2)�0�5+4]=2+√2。
分析三，√(x�0�5+2x+2)=√(x�0�5-4x+8)时，得到X=1，√[(x+1)�0�5+1]+√[(x-2)�0�5+4]=2√5。
最小值应该是【分析二】的结果（2+√2）。

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