Question

求函数f(X)=根号下(X2+2X+2)加根号下（X2-4X+8)的最小值！（2为平方）！

1、分析二应该是，√[(x-2)²+4]的最小值是2时，√[(x+1)²+1]=√10；√[(x+1)²+1]+√[(x-2)²+4]=2+√10。
正确答案是3√3，但不知道解法。

Answer 1

f(x)=√(x²+2x+2)+√(x²-4x+8)=√[(x+1)²+1]+√[(x-2)²+4]。
分析一，√[(x+1)²+1]取最小值是1时，√[(x-2)²+4]=√13；√[(x+1)²+1]+√[(x-2)²+4]=1+√13。
分析二，√[(x-2)²+4]的最小值是2时，√[(x+1)²+1]=√2；√[(x+1)²+1]+√[(x-2)²+4]=2+√2。
分析三，√(x²+2x+2)=√(x²-4x+8)时，得到X=1，√[(x+1)²+1]+√[(x-2)²+4]=2√5。
最小值应该是【分析二】的结果（2+√2）。

【3√3近似值是5.196】，【（2+√2）近似值是3.414】，你说最小值是哪一个？？？

Answer 2

解：函数f(x)=
x2+2x+2
+
x2+4x+8
=
(x+1)2+1
+
(x+2)2+4
=
(x+1)2+(0-1)2
+
(x+2)2+(0-2)2
表示A（x，0）与点B（-1，1），C（-2，2）两点间的距离的和
求函数f(x)=
x2+2x+2
+
x2+4x+8
的最小值，只需求取B（-1，1）关于x轴的对称点D，则|CD|最小
取B（-1，1）关于x轴的对称点D（-1，-1），则|CD|=
(-1+2)2+(-1-2)2
=
10
∴函数f(x)=
x2+2x+2
+
x2+4x+8
的最小值为
10 ，

Answer 3

函数可化为：f(x)=√[(x+1)²+(0+1)²]+√[(x-2)²+(0-2)²]
放入坐标系转为为求点(x,0)到点(-1,-1)与(2,2)的距离之和的最小值。
两点之间直线段最短.
(-1,-1)与(2,2)两点连线交X轴于(0,0) ,
即x=0时，f(x)最小=3√2
或直接求f(x)最小=√[(-1-2)²+(-1-2)²] =3√2