Question

已知函数f（x）＝lnx,g（x）＝1/2ax^2+bx-1,当a＝0且b＝1时

已知函数f（x）＝lnx,g（x）＝1/2ax^2+bx-1,当a＝0且b＝1时,证明任意x＞0,fx≤gx（不要用反证法）

Answer 1

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(1/2)ax²+bx-1，当a＝0且b＝1时，证明任意x＞0，f(x)≤g(x).
证明：当a=0，b=1时,g(x)=x-1；设φ(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1；定义域x>0.
令φ'(x)=1/x-1=(1-x)/x=0，得驻点x=1；当0<x≦1时φ'(x)>0，即φ(x)在区间(0，1]内单调增；当
x≧1时，φ'(x)≦0，即φ(x)在区间[1，+∞)内单调减；故x=1是函数φ(x)的极大点，其极大值=φ(1)
=0；故当x>0时恒有φ(x)=f(x)-g(x)≦0，即恒有f(x)≦g(x)。故证。