Question

在三角形ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，求证DE＝DF

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Answer 1

1)∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC又∵D、E、F是三边的中点 ∴DE、DF、EF为△ABC的中位线∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°∵△DMN是等边三角形∴∠MDN＝60°，DM=DN∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN ∠NDF ∴∠MDF=∠NDE 在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN∴△DMF≌△DNE∴MF=NE 设EN与BC交点为P，连结NF由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形∴∠MDN=∠BDF＝60°∴∠MDN－∠BDN=∠BDF－∠BDN即∠MDB=∠NDF在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF∴△DMB≌△DNF∴∠DBM=∠DFN∵∠ABC=60°∴∠DBM=120°∴∠NFD=120°∴∠NFD ∠DFE=120° 60°=180°∴N、F、E三点共线∴F与P重合∴F在直线NE上 (2)成立∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC又∵D，E，F是三边的中点∴DE，DF，EF为△ABC的中位线∴DE=DF=EF，∠FDE=60°又∠MDF ∠FDN=60°∠NDE ∠FDN=60°∴∠MDF=∠NDE在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE，DM=DN∴△DMF≌△DNE∴MF=NE （3）MF=NE仍成立

Answer 2

∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形又∵D是BC的中点∴AD也是∠BAC的角平分线（等腰三角形“三线合一”)∵DE⊥AB于E DF⊥AC于F∴DE=DF

Answer 3

太简单了，求两三角形全等就行