Question

已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2， (1)求q关于p的关系式；

已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2， (1)求q关于p的关系式； (2)求证：抛物线y=x²+px+q+1与x轴总有交点； (3)当p=-1时，(2)中的抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，A在B的左侧，若P点在抛物线上，当S三角形BPC=4时，求P点的坐标。

Answer 1

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1）代入x=2，得到5+2p+q=0
q=-5-2p
2）由已知，(2,0)点在抛物线上，也在x轴上，即一个交点
3）p=-1时，q=-3
抛物线解析式y=x^2-x-2，A(-1,0) ，B(2,0)，C(0,-2)
|BC|=2√2，因已知面积S=4，从而P点到BC的距离是2√2
BC方程y=x-2，从而P点在直线y=x+2或y=x-6上
y=x+2上时，联立两方程，得到x^2-2x-4=0，
解得P(1+√5,1+√5)或P(1-√5,1-√5)
y=x-4上时，联立两方成，得到x^2-2x+4=0
无解
综上，有两个点符合条件