Question

已知一元二次方程x^+PX+q+1=0的根为2。

1、求q关于p的函数关系式；
2、设抛物线y=x2+px+q+1与x轴交于A、B两点，且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求pq的值.

Answer 1

解：1.x1=2, x2=a
2+a=-p, a=-p-2
2a=q+1
-2p-4=q+1
q+2p+5=0
2.y=x2+px+q+1=(x+p/2)^2-p^2/4+q+1,所以顶点为（-p/2,-p^2/4+q+1)，与x轴交于A、B两点为
(-p/2-根号（p^2/4-q-1),0)，(-p/2+根号（p^2/4-q-1),0)，所以以AB为直径的圆方程为
（x+p/2)^2+y^2=p^2/4-q-1，所以
(-p/2+p/2)^2+(-p^2/4+q+1)^2=p^2/4-q-1,得到p^2-4q-8=0,联合q+2p+5=0
解得p=-2或-6,q=-1或7

Answer 2

1、把2代入得，2p+q=-5,q=-2p-5
2、由求根公式可得，x=[-p±√p^2-4(q+1)]/2，所以AB=√p^2-4(q+1)
根据题意得，AB/2等于顶点的纵坐标
有[√p^2-4(q+1)]/2=[4(q+1)-p^2]/4,两边平方得，[p^2-4(q+1)]^2=4[p^2-4(q+1)]
所以，[p^2-4(q+1)][p^2-4(q+1)-4]=0
当p^2-4(q+1)=0时，把q=-2p-5代入，得，P^2+8p+20=0无解，
当p^2-4(q+1)-4=0时，把q=-2p-5代入，得，P^2+8p+16=0，解得，p=-4,代入得，q=3

Answer 3

1.
x1=2, x2=a
2+a=-p, a=-p-2
2a=q+1
-2p-4=q+1
q+2p+5=0
2.