Question

线性代数问题求老师帮助

通过这道题有几个疑问
一：秩为1，则0为其2重特征值这个是依据 （秩为1的矩阵的特征值是 tr(A),0,0） 也就是说0为n-1重特征值。 除了这个，还能根据其它性质或方法得出么？也就是说能不能推广到一般性，给出一个秩，比如秩为2，得出特征值？
二：还有别的方法能得出其特征值为1 0 0 么？
三：通过E-aaT的特征值0,1,1，判断秩为2， 是依据实对称矩阵与对角矩阵秩相同，判断的。那么是不是只有实对称矩阵，才能根据他的特征值判断秩。 推广到一般的矩阵，不能依据特征值来判断秩吧？
四：该题是不是不够严谨，如果α是一个单位行向量，就变成求E-1的秩。E-1这个东西是不存在的吧？

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Answer 1

1.   不能推广到一般性，即 r≥2时，无法在矩阵不知道的情况下求出特征值。

2.   当矩阵已知时，可用 |λE-A|=0  求出特征值，

3.   一般矩阵，只能用初等变换法或求出特征值后（包括判断有0特征值），判断其秩。

4. 本题，a是单位向量，即指是列向量，a^Ta=1,   aa^T是秩为1的矩阵，不是1 ！该问题正确，严谨。

   如你一定要改为a是单位行向量， 就应写为 E-aa^TE，实际上就是零矩阵了。

Answer 2

一. 一般情况下, 若 r(A-aE) = r, 则 a 至少是 n-r 重特征值
当 A 是实对角矩阵时, a 是 n-r 重特征值
二. 不知道, 这是最快捷的方法了
三. 可对角化的矩阵才有这个性质
四. a是单位行向量并不能说明 a^Ta = E. 只能说明 aa^T=1, 别乱套了

追问

第四个问题，我的意思是， α有可能是行向量，也有可能是列向量，如果是列向量，那么αα^T是一个矩阵， 但是如果α是一个行向量， αα^T就等于数字1 而题目的要求是求E-αα^T, 即如果α是行向量，就变成了求E-1，一个矩阵减一个数字，这个是不合法的吧？

追答

那当然, 题目自然会有意义

向量一般默认为列向量