Question

数学概率题，求解

小明在做作业时吃荔枝，他决定每做完一题吃一个荔枝，如果吃到好吃的荔枝就一口气向下做两题，吃到不好吃的就再吃一个荔枝然后继续做题。但实际上，小明连续吃到三个好吃的荔枝后就会恢复一题一个荔枝的吃法，连续吃到五个不好吃的荔枝后就会停止做作业。已知小明的荔枝有100个，好吃的概率为0.3，不好吃的概率为0.4，题目数量足够。问：
(1)小明吃光荔枝时做了100题的概率。
(2)小明每吃三个荔枝用掉一张纸，求他做了50题时理论上用纸的张数。
(3)夏天荔枝易腐坏，假设每过十分钟好吃的荔枝变质概率增加0.5％，其余的荔枝变质概率增加0.1％，小明解决一题的平均用时为15分钟。如果累计吃到十个荔枝小明就会食物中毒，求小明完成50道题后恰好食物中毒的概率。

Answer 1

第一次成功的概率为1/2, 第二次成功的概率为 1/2*1/2+3/4*1/2=5/8
设第N次成功的概率是p(n)，则
p(n)=1/2*p（n-1）+3/4*[1-p(n-1)]
=[3-p(n-1)]/4
4*p(n)+p(n-1)-3=0

要想继续解题需要用到一个定理：
定理：若数列p(n)满足 a*p(n)+b*p(n-1)+c=0 (a,b,c为常数）
则该数列的通项公式为：
p(n)=A*(x1)^n+B*(x2)^n
其中 x1, x2是方程 ax²+bx+c=0 的两个根，A、B是常数，
需要根据p(1)和p(2)的值来确定
这个定理是数学奥赛要讲的内容，教材里没有

根据该定理，方程 4x²+x-3=0 的两个根为 x1=-1 和 x2=3/4
所以数列p(n)的通项公式为：
p(n)=A*(-1)^n+B*(3/4)^n
p(1)=1/2, p(2)=5/8, 分别代入得方程组：
-A+3/4*B=1/2
A+9/16*B=5/8
解得：A=1/7, B=6/7
所以第N次实验成功的概率 p(n)=[(-1)^n+6*(3/4)^n]/7
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Answer 2

第一次成功的概率为1/2, 第二次成功的概率为 1/2*1/2+3/4*1/2=5/8
设第N次成功的概率是p(n)，则
p(n)=1/2*p（n-1）+3/4*[1-p(n-1)]
=[3-p(n-1)]/4
4*p(n)+p(n-1)-3=0

要想继续解题需要用到一个定理：
定理：若数列p(n)满足 a*p(n)+b*p(n-1)+c=0 (a,b,c为常数）
则该数列的通项公式为：
p(n)=A*(x1)^n+B*(x2)^n
其中 x1, x2是方程 ax²+bx+c=0 的两个根，A、B是常数，
需要根据p(1)和p(2)的值来确定
这个定理是数学奥赛要讲的内容，教材里没有

根据该定理，方程 4x²+x-3=0 的两个根为 x1=-1 和 x2=3/4
所以数列p(n)的通项公式为：
p(n)=A*(-1)^n+B*(3/4)^n
p(1)=1/2, p(2)=5/8, 分别代入得方程组：
-A+3/4*B=1/2
A+9/16*B=5/8
解得：A=1/7, B=6/7
所以第N次实验成功的概率 p(n)=[(-1)^n+6*(3/4)^n]/7