Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(x)<0的解集是(1,3),函数在[1,3]最大值是16,求解析式

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(x)<0的解集是(1,3),函数在[1,3]最大值是16,求解析式

Answer 1

答：
1）
f(x)=ax^2+bx+c<0的解集是{x|1<x<3}
显然，a>0，x=1和x=3是f(x)的零点
所以：f(x)=a(x-1)(x-3)
抛物线f(x)开口向上，对称轴x=(1+3)/2=2
在区间[-1，3]上最小值在x=2处取得
因为：x=-1比x=3离对称轴x=2远
所以：x=-1时f(x)取得最大值f(-1)=8a=16
所以：a=2
所以：f(x)=2(x-1)(x-3)=2x^2-8x+6

2）
f(x)=2x^2-8x+6>=mx^2-4mx恒成立
2(x^2-4x+3)>=m(x^2-4x)恒成立
令a=x^2-4x>=-4
上式化为：2(a+3)>=ma
当-4<=a<0时：m>=2+6/a，a=-4时2+6/a取得最大值2-6/4=1/2，m>=1/2
当a=0时：恒成立
当a>0时：m<=2+6/a<2
综上所述，1/2<=m<2
打字不易，如满意，望采纳。