Question

在平面直角坐标系中xoy中,已知圆O:x^2+y^2=64，圆O1与圆O2相交，圆心为O1（9,0

），且圆O1上的点之间的最大距离为21
过定点P（a，b）作动直线l与圆O,圆O1都相交，切直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d，d1，若d与d1的比值总等于同一常数α，求点P的坐标及α的值

Answer 1

解：（1）圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O1的半径为4，
∵圆心为O1（9，0），
∴圆O1的标准方程为（x-9）2+y2=16；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O1到直线l的距离分别为h=|ka-b| /√(1+k²),h1=|-9k+ka-b| /√(1+k²)
∴d=2{√[64-(|ka-b|/√〈1+k²〉)²]},d1=2{√[16-(|-9k+ka-b|/√〈1+k²〉)²]}

∵d与d1的比值总等于同一常数λ，
∴ 64-(|ka-b|/√〈1+k²〉)²=λ²(|-9k+ka-b|/√〈1+k²〉)²

∴k²[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]+2bk[a-λ²（a-9）]+64-b²-λ²（16-b²）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立
∴64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2bk[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同时成立

①如果b=0，代入64-b²-λ²（16-b²）=0，则64-16λ²=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，显然a=9不满足，从而λ²= a/(a-9)
代入64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0得3a²-43a+192=0，△=432-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0）．
累死了。采纳吧………………