Question

几道求函数值域的题 急

1 f(x)=(2x^2-x+1)/(x-1) (x>1)
2 f(x)={-x^2-2x (-2<=x<=0) x^2-4x+1（0<x<=5） 这是一个分段函数啊
3 f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x+1)
4 f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x-1)(1<=x<=2)

要有过程和方法啊 谢谢

Answer 1

1．f(x)=(2x^2-x+1)/(x-1) (x>1)
解析：∵f(x)=(2x^2-x+1)/(x-1)，其定义域为x>1
令F’(x)=[(4x-1)(x-1)-(2x^2-x+1)]/(x-1)^2=(2x^2-4x)/(x-1)^2=0
X1=0(舍)，x2=2
∵2x^2-4x为开口向上的抛物线，当x渐增取过x=2时，F’(x)由负变正
∴f(x)在x=2处取最小值f(2)=7
∴函数f(x)的值域为[7，+∞）

2．f(x)={-x^2-2x (-2<=x<=0) x^2-4x+1（0<x<=5） 这是一个分段函数啊
解析：∵f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1 (-2<=x<=0)
f(-2)= f(0)=0
∴f(x)值域为[0，1]
∵f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3（0<x<=5）
f(0)=1, f(5)=6
∴f(x)值域为[-3，6]
取二者并
∴f(x)值域为[-3，6]

3．f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x+1)
解析：∵ f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x+1)，其定义域为R
f'(x)=3(2x+1)/(x^2+x+1)^2=0==>x=-1/2
∴f(x)在x=-1/2处取极大值f(-1/2)=6
f(x)=(2x^2+2x+2+3)/(x^2+x+1)=2+3/(x^2+x+1)
∴当x趋向∞时，f(x)趋向2
∴f(x)的值域为(2,6]

4．f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x-1)(1<=x<=2)
解析：∵ f(x)=(2x^2+2x+5)/(x^2+x-1)，其定义域为(x≠-1-√5)/2, x≠(-1+√5)/2
f'(x)= -7(2x+1)/(x^2+x-1)^2=0==>x=-1/2
∴f(x)在x=-1/2处取极大值
∵1<=x<=2，(-1+√5)/2<1
∴当x>(-1+√5)/2时，f'(x)<0，函数f(x)单调减
f(1)=9，f(2)=17/5
∴f(x)的值域为[17/5,9]