已知a∈R，函数f（x）=4x3-2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0
已知a∈R，函数f（x）=4x3-2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．...
已知a∈R，函数f（x）=4x3-2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．
展开
1个回答
展开全部
（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2-2a
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-
）（x+
）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-
），（
，+∞）；单调递减区间为（-
，
）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2
当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2
设g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-
）（x+
）
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-
|
|
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-
|
|
|
|
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2
当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2
设g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| x | 0 | （0，
|
