Question

已知数列（an}为Sn且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1 （n≥2）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n-1

已知数列（an}为Sn且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1 （n≥2）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}前n和Tn（Ⅲ）若cn=tn[lg（2t）n+lgan+2]（0＜t＜1），且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1，

an

an?1

＝

1

2

∵a₁=2，∴an＝2(

1

2

)n?1＝22?n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=（2n-1）2^2-n，

Tn＝1× 2+3×20+5×2?1+…+(2n?1)×22?n 1 2 Tn＝     1×20+3×2?1+…+(2n?3)×22?n+(2n?1)×21?n

1

2

Tn＝2+2×(20+2?1+…+22?n) ?(2n?1)×21?n=2+

2[1?(2?1)n?1]

1?2?1

?(2n?1)×21?n
∴T_n=12-（2n+3）×2^2-n（n∈N^*）
（Ⅲ）c_n=tⁿ（nlg2+nlgt+lg2^-n）=ntⁿlgt，∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿlgt＜（n+1）tⁿ⁺¹lgt
∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt
∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）?t＜

n

n+1

，
∵n∈N^*，

n

n+1

＝

1

1+ 1 n

≥

1

2

，∴0＜t＜

1

2