Question

设圆x2+y2=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为______

设圆x2+y2=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为______．

Answer 1

设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，则切线的方程为

x

a

+

y

b

＝1，|AB|=

a2+b 2

．
又圆x²+y²=2的圆心坐标为（0，0），半径r=

2

，
由圆心到直线的距离d=

|0+0?1|

( 1 a )2+ ( 1 b ) 2

=r=

2

，可得(

1

a

)2+(

1

b

)2=

1

2

．
则|AB|²=（a²+b²）?2[(

1

a

)2+(

1

b

)2]=2?（1+

a2

b2

+

b2

a2

+1）≥2（2+2）=8，
当且仅当a=b=2时，等号成立．
故当|AB|取最小值时，切线l的方程为

x

2

+

y

2

＝1，即 x+y-2=0，
故答案为：x+y-2=0．