Question

（2014?淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，

（2014?淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）答：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，
∠EBN=∠ABN．
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=

1

2

（∠BAE+∠ABE）=45°．
∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=

1

2

AC．
∵AC=BD，
∴FM=

1

2

BD，即

FM

BD

＝

1

2

．
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM=BM=

1

2

BC，即

NM

BC

＝

1

2

，
∴

FM

BD

＝

NM

BC

．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM∥AC，
∴∠ACB=∠FMB．
∵∠CEB=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°．
∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．

Answer 2

（1）答：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．
∴△BMN是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=AC．
∵AC=BD，
∴FM=BD，即．
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM=BM=BC，即，
∴．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM∥AC，
∴∠ACB=∠FMB．
∵∠CEB=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°．
∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．