Question

如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°将三角板DEF的直角顶点E放置于三

如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）如图2，当CEEA＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当CEEA＝2时①EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．②在旋转过程中，连接PQ，若AC=30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2），求 S关于x的函数关系，并求出x的取值范围．

Answer 1

（1）连接BE，如图2：
证明：∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，

∠BEP＝∠CEQ BE＝CE ∠PBE＝∠C

，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．

（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②设EQ=x，由①得，EP=

1

2

x，
∴S_△EPQ=

1

2

EP×EQ=

1

4

x²，
当EQ=EF时，EQ取得最大，此时EQ=DE×tan30°=30×

3

3

=10

3

；
当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ=EC×sin45°=20×

2

2

=10

2

；
即10

2

≤x≤10

3

，
综上可得：S=

1

4

x²（10

2

≤x≤10

3

）．