Question

已知函数f（x）=-x3+ax2-4．（1） 若f（x）在x＝43处取得极值，求实数a的值；（2） 在（Ⅰ）的条件下，若

已知函数f（x）=-x3+ax2-4．（1） 若f（x）在x＝43处取得极值，求实数a的值；（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（3） 若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解答：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得f′(

4

3

)＝0，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=0，则x₁=0，x2＝

4

3

（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=-4，如图构造f（x）在[-1，1]上的图象．
又关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
则-4＜m≤-3，即m的取值范围是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）_max＞0即可，
∵f（x）=-x³+ax²-4，∴f′(x)＝?3x2+2ax＝?3x(x?

2

3

a)．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=-4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0，
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

x	(0， 2 3 a)	2 3 a	( 2 3 a，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	4a3 27 ?4	↘

∴当x∈（0，+∞）时，f(x)max＝f(

2

3

a)＝

4a3

27

?4，由

3a3

27

?4＞0得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令g(x)＝x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而g(x)＝x+

4

x2

＝

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3	x 2 ? x 2 ? 4 x2

＝3，当且仅当

x

2

＝

4

x2

，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．