Question

用向量法证明三角形三条中线共点

Answer 1

设三角形是ABC，三个中线为AD，BE，CF，那么，有向量AD＝1/2*(向量AC+向量AB)，向量BE=1/2*(向量BA+向量BC)，向量CF=1/2*(向量CA+向量CB)。由此，向量AD+向量BE+向量CF=0向量 即此三向量可以构成一三角形，那么其共点。

如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量ab(x1,y1,z1)和cd(x2,y2,z2)。

由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。

为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。

Answer 2

设三角形是ABC，三个中线为AD，BE，CF，那么，有向量AD＝1/2*(向量AC+向量AB)，向量BE=1/2*(向量BA+向量BC)，向量CF=1/2*(向量CA+向量CB)。 由此，向量AD+向量BE+向量CF=0向量 即此三向量可以构成一三角形，那么其共点。