Question

设a>b>c证明不等式(a-b)/a<lna/b<(a-b)/b

Answer 1

题应为a>b>0
设y=lnx，则y=lnx在区间[b,a]上连续，在(b,a)内可导，由拉格朗日中值定理，在区间(b,a)内至少存在一点ξ，使
f'(ξ)=(lna-lnb)/(a-b)=ln(a/b)/(a-b)
而1/a<f'(ξ)=1/ξ<1/b
故1/a<ln(a/b)/(a-b)<1/b
即(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

Answer 2

a>b>0,设x=a/b,则x>1,不等式化为
1-1/x<lnx<x-1.
设f(x)=lnx-x+1(x>1),则
f'(x)=1/x-1<0,f(x)↓，
∴f(x)<f(1)=0,
∴lnx<x-1;
设g(x)=lnx+1/x-1(x>1),则
g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2>0,g(x)↑，
g(x)>g(1)=0,
∴1-1/x<lnx.
∴命题成立。