Question

已知，如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一个点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP（1）求证：△CPB≌

已知，如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一个点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP（1）求证：△CPB≌△AEB；（2）求证：PB⊥BE；（3）若∠APB=135°，判断△PAE形状，并説明你的理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
又∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB（SAS）；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
即∠CBP+∠ABP=90°．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
即∠PBE=90°，
∴PB⊥BE；

（3）解：△PAE是直角三角形．
理由：由（2）知PB⊥BE，
∴∠PBE=90°．
∵BE=BP，
∴∠BPE=∠BEP=

1

2

（180°-∠PBE）=

1

2

×90°=45°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=135°-45°=90°，
∴△PAE是直角三角形．