Question

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．（1）求证：△CPB≌

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．（1）求证：△CPB≌△AEB；（2）求证：PB⊥BE；（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB，（1分） ∵∠CBP=∠ABE，BP=BE， ∴△CBP≌△ABE． （2）证明：∵∠CBP=∠ABE， ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°， ∴PB⊥BE． （1）、（2）两小题可以一起证明． 证明：∵∠CBP=∠ABE， ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分） =∠CBP+∠ABP =90°（2分） ∴PB⊥BE．（3分） 以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°．（4分） ∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分） ∴△CBP与△ABE重合， ∴△CBP≌△ABE．（6分） （3）连接PE， ∵BE=BP，∠PBE=90°， ∴∠BPE=45°，（7分） 设AP为k，则BP=BE=2k， ∴PE 2 =8k 2 ，（8分） ∴PE=2 2 k， ∵∠BPA=135°，∠BPE=45°， ∴∠APE=90°，（9分） ∴AE=3k， 在直角△APE中：cos∠PAE= AP AE = 1 3 ．（10分）