（2013?谷城县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，
（2013?谷城县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE...
（2013?谷城县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的相等数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=25，求FG的长．
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解：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）KG2=KD?GE．理由如下：
如图2，连接GD．
∵
AC∥EF，∴∠C=∠E．
又∵∠C=∠AGD，
∴∠KGD=∠E．
又∵由（1）知∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴
| KG |
| GE |
| KD |
| KG |
（3）连接OG，OC，如图3所示．
sinE=sin∠ACH=
| 3 |
| 5 |
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（2
| 5 |
| 2 |
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r=
| 25 |
| 6 |
25
| ||
| 6 |
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=
25
| ||
| 6 |
| CH |
| AH |
| 4 |
| 3 |
∴FG=
| OG |
| tan∠OFG |
|
