已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．（1）如果曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，求a的值
已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．（1）如果曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）≤...
已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．（1）如果曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，f(x2)?f(x1)x2?x1＜2（1x2-1）．
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（1）解：因为f（x）=2lnx-ax+a，
所以f′（x）=
?a．
因为曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，
所以2-a=1，
所以a=1；
（2）解：f′（x）=
?a=
（x＞0），
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f'（x）=0，可得x=
．
所以当x∈（0，
）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，
）上是增函数；
当x∈（
，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（
，+∞）上是减函数．
所以当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是（
，+∞），f（x）的递增区间是（0，
）；
（3）证明：由（2）知，当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞），且f（1）=0，
所以x＞1时，f（x）＞f（1）=0，所以f（x）≤0不恒成立；
a＞0时，f（x）的递减区间是（
，+∞），f（x）的递增区间是（
，+∞），
要使f（x）≤0恒成立，则f（
）≤0即可，
所以求满足2ln
+a-2≤0成立的a．
令g（x）=2（ln2-lnx）+x-2，则g′（x）=
（x＞0），
所以有g（x）在（0，2（上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以gmin（x）=g（2）=0，
所以当且仅当a=2时，f（x）≤0恒成立
此时f（x）=2lnx-2x+2．
因为0＜x1＜x2，
所以
＜2（
-1）等价于ln
＜
-1，
令t=
（t＞1），则只需证明lnt＜t-1，
令h（t）=lnt-t+1，则h′（t）=
所以f′（x）=
| 2 |
| x |
因为曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，
所以2-a=1，
所以a=1；
（2）解：f′（x）=
| 2 |
| x |
| 2?ax |
| x |
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f'（x）=0，可得x=
| 2 |
| a |
所以当x∈（0，
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
当x∈（
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
所以当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是（
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
（3）证明：由（2）知，当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞），且f（1）=0，
所以x＞1时，f（x）＞f（1）=0，所以f（x）≤0不恒成立；
a＞0时，f（x）的递减区间是（
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
要使f（x）≤0恒成立，则f（
| 2 |
| a |
所以求满足2ln
| 2 |
| a |
令g（x）=2（ln2-lnx）+x-2，则g′（x）=
| x?2 |
| x |
所以有g（x）在（0，2（上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以gmin（x）=g（2）=0，
所以当且仅当a=2时，f（x）≤0恒成立
此时f（x）=2lnx-2x+2．
因为0＜x1＜x2，
所以
| f(x2)?f(x1) |
| x2?x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
令t=
| x2 |
| x1 |
令h（t）=lnt-t+1，则h′（t）=
