Question

已知函数f（x）=ax2-2x+lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若函数f（x）在

已知函数f（x）=ax2-2x+lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上存在单调减区间，求a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于?32．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²-2x+lnx，
∴x＞0，f′(x)＝2ax?2+

1

x

，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=2a-2+1=0，解得a=

1

2

．
（2）f′(x)＝2ax?2+

1

x

=

2ax2?2x+1

x

，
∵函数f（x）在[2，+∞）上存在单调减区间，
∴f′(x)＝2ax?2+

1

x

≤0，
∴a≤

1

x

-

1

2x2

=

2x?1

2x2

，
设h（x）=

2x?1

2x2

，h′（x）=

4x?4x2

4x4

=

1?x

x3

，
∵x＞2，∴h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，∴h（x）_max=h（2）=

3

8

，
∴a≤

3

8

．
（3）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，
故△＞0，a＞0，解得：0＜a＜

1

2

；
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）均有f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的极小值点，
∴2ax₂²-2x₂+1=0，∴a=

2x2?1

2x22

，
由0＜a＜

1

2

，知x₂＞

1

2

，且x₂≠1，
∴f(x2)＝ax22?2x2+lnx2
=

2x2?1

2x22

?x22?2x2+lnx2
=lnx₂-x₂-

1

2

（x2＞

1

2

，且x₂≠1），
构造函数Q（x）=lnx-x-

1

2

（x＞

1

2

且x≠1），
Q′(x)＝

1

x

?1＝

1?x

x

，
∴Q（x）＜Q（1）=-

3

2

，
∴f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．