Question

已知函数f（x）=ax-lnx-1，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ

已知函数f（x）=ax-lnx-1，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2）． （i）求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围； （ii）求证：g′(x1+x22)＞0．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：由f′(x)＝a?

1

x

，且f'（1）=0，…（2分）
解得a=1．…（3分）
（Ⅱ）（i）解：g（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞）．
令g′(x)＝1?m?

1

x

＝

(1?m)x?1

x

，…（4分）
当1-m≤0即m≥1时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，此时只存在一个零点，不合题意；…（5分）
当m＜1时，令g'（x）=0，解得x＝

1

1?m

．
当x变化时，g（x）和g'（x）变化情况如下表：
…（6分）
由题意可知，g(x)极小＝g(

1

1?m

)＝m+ln(1?m)．
设h（m）=m+ln（1-m），
当m=0时，h（0）=0即g（x）_极小=0，此时g（x）恰有一个零点，不合题意；…（7分）
当m≠0且m＜1时，h′(m)＝1?

1

1?m

＝

?m

1?m

，…（8分）
当m＜0时，h'（x）＞0，当0＜m＜1时，h'（x）＜0
所以h（m）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以h（m）＜h（0）=0，此时g（x）恰有两个零点．
综上，m的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．…（9分）
（ii）证明：因为函数g（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
所以

g(x1)＝(1?m)(x1?1)?lnx1＝0 g(x2)＝(1?m)(x2?1)?lnx2＝0.

，
两式相减得(1?m)(x2?x1)?ln

x2

x1

＝0，所以1?m＝

1

x2?x1

ln

x2

x1

．…（10分）
要证g′(

x1+x2

2

)＞0，
只要证1?m?

2

x1+x2

＞0，只要证

1

x2?x1

ln

x2

x1

?

2

x1+x2

＞0，
只要证ln

x2

x1

?

2(x2?x1)

x1+x2

＞0，…（11分）
只要证ln

x2

x1

?

2( x2 x1 ?1)

x2 x1 +1

＞0．…（12分）ks5u
设φ(t)＝lnt?

2(t?1)

t+1

(t＞1)，则φ′(t)＝

(t?1)2

t(t+1)2

＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，…（13分）
所以φ（t）＞φ（1）=0，
所以g′(

x1+x2

2

)＞0．…（14分）