设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f
设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f(b)-f(a)|....
设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f(b)-f(a)|.
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解答:证:将f(
)在a,b展开为:
f(
)=f(a)+f′(a)(
)+
(
)2,a<ξ1<
f(
)=f(b)+f′(b)(
)+
(
)2,
<ξ2<b
利用条件f′(a)=f′(b)=0,将以上两式相减:
|f(b)?f(a)|≤
[|f″(ξ1)|+|f″(ξ2)|]
设|f″(ξ)|=max{|f″(ξ1)|,|f″(ξ2)|},则有:
|f(b)?f(a)|≤
|f″(ξ)|,
于是
|f″(ζ)|≥
|f(b)?f(a)|.
a+b |
2 |
f(
a+b |
2 |
b?a |
2 |
f″(ξ1) |
2! |
b?a |
2 |
a+b |
2 |
f(
a+b |
2 |
a?b |
2 |
f″(ξ2) |
2! |
b?a |
2 |
a+b |
2 |
利用条件f′(a)=f′(b)=0,将以上两式相减:
|f(b)?f(a)|≤
(b?a)2 |
8 |
设|f″(ξ)|=max{|f″(ξ1)|,|f″(ξ2)|},则有:
|f(b)?f(a)|≤
(b?a)2 |
4 |
于是
|f″(ζ)|≥
4 |
(b?a)2 |
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