设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f

设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f(b)-f(a)|.... 设函数f(x)在[a,b]二阶可导,f′(a)=f′(b)=0.证明存在ξ∈(a,b),使|f″(ζ)|≥4(b?a)2|f(b)-f(a)|. 展开
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暴旭鹏00E
推荐于2018-03-15 · 超过68用户采纳过TA的回答
知道答主
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解答:证:将f(
a+b
2
)
在a,b展开为:
f(
a+b
2
)=f(a)+f′(a)(
b?a
2
)+
f″(ξ1)
2!
(
b?a
2
)2,a<ξ1
a+b
2

f(
a+b
2
)=f(b)+f′(b)(
a?b
2
)+
f″(ξ2)
2!
(
b?a
2
)2
a+b
2
ξ2<b

利用条件f′(a)=f′(b)=0,将以上两式相减:
|f(b)?f(a)|≤
(b?a)2
8
[|f″(ξ1)|+|f″(ξ2)|]

设|f″(ξ)|=max{|f″(ξ1)|,|f″(ξ2)|},则有:
|f(b)?f(a)|≤
(b?a)2
4
|f″(ξ)|

于是
|f″(ζ)|≥
4
(b?a)2
|f(b)?f(a)|
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