Question

已知a，b，c为实数，且多项式x 3 +ax 2 +bx+c能被多项式x 2 +3x-4整除，（1）求4a+c的值；（2）求2a-2b-c

已知a，b，c为实数，且多项式x 3 +ax 2 +bx+c能被多项式x 2 +3x-4整除，（1）求4a+c的值；（2）求2a-2b-c的值；（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．

Answer 1

（1）∵x 2 +3x-4是x 3 +ax 2 +bx+c的一个因式， ∴x 2 +3x-4=0，即x=-4，x=1是方程x 3 +ax 2 +bx+c=0的解， ∴ a+b+c=-1…① 16a-4b+c=64…② ， ①×4+②得4a+c=12③； （2）由③得a=3- c 4 ，④ 代入①得b=-4- 3 4 c⑤， ∴2a-2b-c=2（3- c 4 ）-2（-4- 3 4 c）-c=14； （3）∵c≥a＞1，又a=3- c 4 ， ∴a=3- c 4 ＜3， 即1＜3- c 4 ＜3， 解得 12 5 ＜c＜8， 又∵a、c是大于1的正整数， ∴c=3、4、5、6、7，但a=3- c 4 ，a也是正整数， ∴c=4， ∴a=2， ∴b=-4- 3 4 c=-7． 故a=2，b=-7，c=4．