Question

已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE

已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：BM⊥DF；（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME?MB．

Answer 1

（1）见解析    （2）4﹣2

试题分析：（1）证明：在△BCE和△DCF中， ∵ ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM， 在△BCE和△DME中， ∵ ， ∴△BCE∽△DME， ∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF； （2）解：∵BC=2， ∴BD=2 ． 又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF， ∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM， ∴CF=2 ﹣2． 在△BMF和△DME中， ∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°， ∴△BMF∽△DME， ∴ = ， ∴ = ，即ME?MB=MD 2 ， ∵DC 2 +FC 2 =（2DM） 2 ，即2 2 +（2 ﹣2） 2 =4DM 2 ， ∴DM 2 =4﹣2 ，即ME?MB=4﹣2 ． 点评：本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．