Question

四边形ABCD是正方形,BD是对角线,BE平分角DBC交DC于E点,交DF于M,F是BC延长线上的一点，且CE=CF

求证：BM垂直DF
若正方形ABCD的边长为2，求ME.MB

Answer 1

（1）如图，

∵BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，

∴△BCE≌△DCF （SAS）

∴∠1=∠2，

又∵∠1+∠F=90°，

∴∠2+∠F=90°，

∴∠BMF=90°，

即BM⊥DF

 

（2）∵BC=CD=2，∠BCD=90°，

∴BD=2√2，

∵∠2=∠3，BM=BM，∠BMF=∠BMD，

∴△BDM≌△BFM（ASA）

∴BF=BD=2√2，

∴CE=CF=2√2-2，

∴DE=CD-CE=4-2√2，

由勾股定理得BE=2√(4-2√2)

由△BCE∽△BMD得

BC/BM=BE/BD，

∴BC/BM=BE/BD

∴MB=√(4+2√2)

又∵DM=1/2DF=1/2DE=√(4-2√2)，

∴EM=√(DE²-DM²)=√(20-14√2)

Answer 2

Answer 3

有图吗，发下，看问题就看晕了