Question

已知命题p：方程ax2+2x+1=0至少有一负根；命题q：任意实数x∈R满足不等式x2+2ax+1≥0，（1）求命题p中a的

已知命题p：方程ax2+2x+1=0至少有一负根；命题q：任意实数x∈R满足不等式x2+2ax+1≥0，（1）求命题p中a的范围 （2）若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，方程ax² +2x+1=0可化为方程2x+1=0，方程存在一个负根
当a≠0时，若关于x的二次方程ax² +2x+1=0有根
则△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax² +2x+1=0无负根则x₁ +x₂ =-

2

a

≥0，x₁?x₂ =

1

a

≥0，这种情况不存在
故关于x的方程ax² +2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是a≤1
（2）∵任意实数x∈R满足不等式x²+2ax+1≥0，
∴△=4a²-4≤0
∴-1≤a≤1
若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假时，则p、q一真一假
①p真q假，

a≤1 a＜?1或a＞1

，∴a＜-1
②p假q真，

a＞1 ?1≤a≤1

，∴a不存在
综上知，a＜-1