Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD， （Ⅰ）证明：PA⊥BD

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD， （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得 ， 从而BD 2 +AD 2 =AB 2 ，故BD⊥AD， 又PD⊥底面ABCD， 可得BD⊥PD， 所以BD⊥平面PAD， 故 PA⊥BD。 （Ⅱ）如图，作DE⊥PB，垂足为E， 已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。 由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD， 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE， 则DE⊥平面PBC， 由题设知，PD=1，则BD= ，PB=2， 根据BE·PB=PD·BD，得DE= ， 即棱锥D-PBC的高为 。