Question

已知公差不为零的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1、a2、a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式及前n

已知公差不为零的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1、a2、a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；（2）设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，证明：13≤Tn＜12；（3）对（2）问中的Tn，若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
∴3a₁+3d=9，

a

2 2

＝a1a5．
化为a₁+d=3，(a1+d)2＝a1(a1+4d)．
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=

n(1+2n?1)

2

=n²．
（2）由

1

anan+1

＝

1

an

?

1

an+1

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)可得
Tn＝

1

2

(1?

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2

．
易知，Tn在n≥1且n∈N*为单调增函数，
故Tn≥T1＝

1

3

，
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，记f(n)＝

1

4n+ 1 n +4

，
则易知函数f（n）在n≥1，且n∈N^*时为减函数，
∴f(n)max＝f(1)＝

1

9

，
∴λmin＝

1

9

．

Answer 2

（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
∴3a₁+3d=9，

a

2 2

＝a1a5．
化为a₁+d=3，(a1+d)2＝a1(a1+4d)．
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=

n(1+2n?1)

2

=n²．
（2）由

1

anan+1

＝

1

an

?

1

an+1

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)可得
Tn＝

1

2

(1?

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2

．
易知，Tn在n≥1且n∈N*为单调增函数，
故Tn≥T1＝

1

3

，
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，记f(n)＝

1

4n+ 1 n +4

，
则易知函数f（n）在n≥1，且n∈N^*时为减函数，
∴f(n)max＝f(1)＝

1

9

，
∴λmin＝

1

9

．