Question

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆周上的点．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AB=2

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆周上的点．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AB=22，AC=2，PA=2，求二面角C-PB-A的度数．

Answer 1

（1）证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，（1分）
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，（3分）
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，（4分）
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．（6分）
（2）解：连接CO，∵AB＝2

2

，
AC=2，∴BC=2，∴AB⊥OC，（8分）
过O在平面PAB上作OM⊥PB于M，连接CM，
由三垂线定理CM⊥PB，
∴∠OMC是二面角C-PB-A的平面角，（10分）
∵OC是圆半径，∴OC=

2

，
由△BOM∽△BPA，得OM=

2

3

，
在Rt△OMC中，tan∠OMC＝

OC

OM

=

3

，
∴∠OMC=60°．
∴二面角C-PB-A的度数为60°．（12分）