Question

（2013?浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x 4 ﹣x 3 +ax+b≤（x 2 ﹣1） 2 ，则ab等于 　_________　

（2013?浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x 4 ﹣x 3 +ax+b≤（x 2 ﹣1） 2 ，则ab等于 　_________　 ．

Answer 1

﹣1

验证发现， 当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0， 当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0 令f（x）=x 4 ﹣x 3 +ax+b，即f（1）=a+b=0 又f′（x）=4x 3 ﹣3x 2 +a，f′′（x）=12x 2 ﹣6x， 令f′′（x）＞0，可得x＞ ，则f′（x）=4x 3 ﹣3x 2 +a在[0， ]上减，在[ ，+∞）上增 又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0 又x≥0时恒有0≤x 4 ﹣x 3 +ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x 4 ﹣x 3 +ax+b的极小值点，也是最小值点 故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1 故ab=﹣1 故答案为﹣1