Question

（2007?江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C

（2007?江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B-AC-A1的大小；（3）求此几何体的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥BB₁∥CC₁．
因为O是AB的中点，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)＝3＝CC1．
则ODC₁C是平行四边形，因此有OC∥C₁D．C₁D?平面C₁B₁A₁且OC?平面C₁B₁A₁，
则OC∥面A₁B₁C₁．
（2）如图，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂．
作BH⊥A₂C₂于H，连CH．
因为CC₁⊥面BA₂C₂，所以CC₁⊥BH，则BH⊥平面A₁C．
又因为AB=

5

，BC=

2

，AC=

3

?AB2＝BC2+AC2．
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因为BH=

2

2

，所以sin∠BCH=

BH

BC

＝

1

2

，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为30°．
（3）因为BH=

2

2

，所以VB?AA2C2C=

1

3

SAA2C2C?BH＝

1

3

?

1

2

(1+2)?

2

?

2

2

＝

1

2

．VA1B1C1?A2BC2＝S△A1B1C1?BB1=

1

2

?2=1．
所求几何体体积为V＝VB?AA2C2C+VA1B1C1?A2BC2=

3

2

．